Küche von der Vermieterin in einer Mietwohnung abkaufen müssen

Sehr geehrte Damen und Herren,
ich habe bis vor kurzem in einer Mietwohnung gewohnt. Die Vermieterin/ Eigentümerin von dieser Wohnung wollte, dass ich ihr die Einbauküche beim Einzug in dieser Wohnung abkaufe. Es wurde aber kein Kaufvertrag, Kaufvereinbarung gemacht, keine Rechnung zu der Küche ausgestellt oder Quittung und ist auch nicht im Mietvertrag vermerkt. Ich habe auch keine Unterlagen wie Garantie u.ä zu der Küche erhalten. Sie wollte das Geld in Bar bezahlt haben. Das hab ich ihr in Bar gegeben und habe sie gebeten mir den erhalt des Bargeldes schriftlich zu bestätigen. Sie schrieb auf einen kleinen Zettel ( Gilt das vor Gericht ?) Möbelgeld 2600€ mit( Datum und Unterschrift) erhalten. Was ich als eine Art Kaution gesehen habe. Beim Auszug schrieb sie in Übergabeprotokoll: die Küche wäre mein Eigentum und ich soll das mit dem Nachmieter klären, wann ich die Küche ausbauen kann. Was ich unterschreiben musste. Bin ich nach dieser Sachlage verpflichtet die Küche auszubauen oder kann ich das Geld zurück verlangen? Gilt auch Whatsappverlauf vor Gericht? Ich musste auch am Tag der Übergabe noch die Fließen im Bad mit Spezialentkalker reinigen, weil, die Vermieterin meinte, wenn sie mit der Hand über die Fließen fährt, hat sich das rau angefühlt. Von Außen war nichts sichtbar und sauber. Weil ich Angst hatte, dass die mir noch mehr bei der Übergabe aufzwingt, habe ich das gemacht (Arbeitsdauer 2 Stunden). Da ich selbstständig bin, musste ich meine Kliententermine deswegen absagen. Die Wohnung habe ich mehr als besenrein hinterlassen.
Vielen Dank für Ihre Mühen.