Mietbegin vor Unterzeichnung des Mietvertrages?

Ich habe einen Termin zur Vetragsunterzeichnung eines Mietvertrages am 4. Oktober. Im Mietvertrag steht, dass der Mietbeginn am 1. Oktober ist. Da die Unterzeichung des Mietvertrags und die Schlüsselübergabe erst am 4. ist, kann ich gar nicht zum offiziellen Mietbeginn einziehen. Trotzdem verlangt der Vermieter die volle Monatsmiete.

Ist ein solcher Mietvertrag überhaupt gültig, oder kann ich die erste Mietzahlung dementsprechend kürzen? Welches Gesetz trifft hier in Kraft?