Wann endet der Mietvertrag bei Nachmieter

Hallo Zusammen,

wir haben zum Ende Nov unsere Wohnung nach 2 Monaten Kündigungsfrist an unseren Vermieter ordnungsgemäß zurück gegeben, da er auf eigene Suche hin und unseren Wunsch zum 01.12. einen Nachmieter gefunden hat.
Offiziel hätten wir erst wie immer nach 3 Monaten Kündigungsfrist also zum 31.12 ausziehen können. Wir haben bei der Übergabe auch die geleistete Kaution zurück erhalten.
Für uns war damit das Mietverhältnis beendet. Ist das rechtlich richtig oder kann der Vermieter von uns verlangen, dass wir die Miete für Dezember trotzdem überweisen und wir uns von "unseren" Nachmieter selbst das Geld dafür holen ?

Vielen Dank und Grüße