Susanne 
Es ist ein Mietvertrag vorhanden, wenn auch nur ein mündlicher, Mietverträge bedürfen allerdings nicht der Schriftform.
Bei einem mündlichen Mietvertrag regelt das BGB die Sachen, die nicht schriftlich formuliert sind. Das bedeutet mehr Vorteile für den Mieter. Die neuen Eigentümer sind in den bestehenden Mietvertrag mit allen Rechten und Pflichten eingetreten.
Falls Du jetzt einen schriftlichen Mietvertrag unterschreiben sollst, fallen mir bei den bestehenden Vordrucken dafür erst einmal 2 Nachteile auf:
der Vermieter darf die Schönheitsreparaturen auf Dich abwälzen, nach BGB sind das Grundsätzlich Arbeiten des Vermieters, Formularmietverträge haben i.d.R. eine Kleinreparaturklausel.
Du solltest also nur einen schriftlichen Vertrag abschließen, der Dich zum derzeitigen nicht schlechter dastehen lässt. Sowas solltest Du mit einem Fachanwalt abklären!!!
Die Miete darf um 20% erhöht werden, allerdings:
1.muss die Form nach BGB eingehalten werden
und
2. muss eine Begründung nach BGB erfolgen. Bekommst Du also eine schriftliche (muss) Mieterhöhung, solltest Du auch die vom Anwalt prüfen lassen.