Mietvertrag zustande gekommen oder nicht?

Hallo alle zusammen!

Ich möchte mich vorab für eure Antworten schon mal bedanken!

Grundlagen: Ich habe ein Haus und zwei Wohnungen, die an das Haus angebaut sind. Im Haus wohnen meine Eltern (ebenfalls Mieter) und eine der angebauten Wohnung soll vermietet werden.

Und zwar habe ich als Vermieter folgendes Problem:

Während einer Wohnungsbesichtigung hat eine potentielle Mieterin dem Mietvertrag zugestimmt ohne ihn zu unterschreiben. Sie hat den Mietvertrag nach Hause mitgenommen und noch bei der Wohnungsbesichtigung per Quittung Miete für halben Monat bar bezahlt. Sie wäre zum 15. eines Monats eingezogen.

Da ich die Vermietung der beiden Wohnungen an meine Eltern überlassen habe, fand die Wohnungsbesichtigung und die mündliche Vereinbarung zwischen meinen Eltern und der "neuen" Mieterin und ihrem Vater statt.

Nach einer Woche Stillstand, hat mein Vater die "neue" Mieterin mehrmals angerufen, sie ging leider nicht an ihr Handy ran. Nach 1,5 Wochen rief ihr Vater bei meinen Eltern an und hat den bereits gezahlten Betrag zurückverlangt. Das tat er auch schriftlich, worauf wir uns nicht zurückgemeldet haben, da ihr Vater nicht der zukünftige Mieter werden sollte. Nun erreicht uns ein Mahnbescheid ausgestellt durch ein Gericht.

Jetzt wissen wir gar nicht, wie wir uns verhalten sollen. Muss ich die eingezahlte Miete zurück geben oder kann ich es einbehalten, da ich erst zum 01. Folgemonats einen anderen Mieter gefunden habe?

Wie ist die rechtliche Grundlage? Ich habe momentan zwei Möglichkeiten: 1. Gegen den Bescheid Widerspruch anlegen verbunden mit einem Gerichtsverfahren oder 2. Den zurückgeforderten Betrag (Miete 150 € + Mahngebühr , Gesamt 198 €) innerhalb von zwei Wochen zurückzuzahlen.

Im Mahnbescheid sind drei Personen eingetragen 1. "Ihr Vater", obwohl der einen anderen Namen hat, 2. Die Mieterin und 3. Nochmal ihr Vater.
In dem beigelegten Widerspruchsschreiben wird nur ihr Vater erwähnt.

Habe ich denn gute Chancen das Gerichtsverfahren zu gewinnen oder lohnt es sich eher den Betrag von 198 € zurückzuzahlen?