Räumungsklage trotz festem Umzugstermin

Grüß Gott,
ich habe eine Frage, die ich hier nicht gefunden habe, und hoffe, dass man sie mir beantworten kann.

Situation:
Herr W. kauft 2012 die Wohnung in der meine Familie seit 2006 zur Miete wohnt und meldet Eigenbedarf an. Der Familie wird ordentlich gekündigt. Die Familie kann nicht ausziehen, da keine neue Wohnung gefunden wurde. Es folgt nach ein paar Monaten Ruhe eine erneute Kündigung durch einen Mieterverein, wieder kann die Familie nicht raus, da sie keine Wohnung findet. Die letzte Frist wird gesetzt und man wird darauf aufmerksam gemacht, dass es zu einer Räumungsklage kommen wird/kann. Es kommt der 01.11.2013 und die Familie kann wieder nicht ausziehen, da immer noch keine Wohnung. Nun am 14.11.2013 wird der Familie eine Wohnung zugesagt mit Einzugstermin 01.12.2013. Nach Erhaltung der Schlüssel informiert die Familie den Mieterverein am 17.11.2013 über den neuen Sachverhalt. Am 25.11.2013 flattert Post vom Amtsgericht ein mit der Räumungsklage.

Die Familie hat sich sofort an dem Tag telefonisch mit dem Amtsgericht in Verbindung gesetzt und diesen über die neue Wohnung informiert und auch den vertretenden Anwalt der Kläger.
Darüber hinaus auch darum gebeten schon am 29.11.2013 die Schlüssel übergeben zu können.

- Womit kann meine Familie nun rechnen?
- Wird die Klage fallen gelassen, nachdem ja eine neue Wohnung da ist und man auch keine Mietrückstände hat?
- Im Schreiben des Anwaltes steht "die Kosten werden dem Beklagten auferlegt" geht das so einfach?

Ich danke schon im voraus für jede Hilfe und jeden Tipp.

Gruß

euer Emanuel Tunai