Wohnung der Geimeinde Nachmieter

Hallo liebes Forum,

ich hoffe ich bin hier richtig gelandet und bekomme etwas Hilfe/Tipps.

Ich bin 34 jahre alt, arbeite noch in einer Bäckerei und wohne 15km von meiner kranken (demenz) Mutter entfernt.
Meine Mutter ist verwitwet und wohnt schon seit 15 Jahren in einer 3 Zimmer Wohnung der Gemeinde im Kreis Böblingen.
Sie hat seit 6 Jahren Demenz und seit 2 Jahren muss man sie mindestens 6 Stunden am Tag Pflegen.Seit 3 Monaten hat sich ihr Zustand nach einem Sturz sehr verschlechtern (Beckenbruch - keine OP möglich). Sie hat nun vor einer Woche die letzte Pflegestufe bekommen und ich war/bin bisher die Pflegeperson. Da sie nun überhaupt nichts mehr machen kann und auf eine 24 Stunden Pflege angewiesen ist, müssen wir zusammenziehen, da es sonst ja nichts klappt. Meine Wohnung hat genau 1 Zimmer und befindet sich im Dachgeschoss, das würde nicht gehen. Ihre Wohnung wäre gut, da sie 3 Zimmer hat und es nahe am Zentrum der Stadt befindet, auch die Hausärztin ist nur ca. 5 Gehminuten entfernt mit dem Rollstuhl. Eine andere Option wäre eine komplett neue Wohnung, das erwies sich bisher bei der Suche (4 Monate) als sehr schwer. Es sollte eine Wohnung im EG oder im 1. Stockwerk sein, Preislich passen und die 2 katzen meiner Oma akzeptieren. Dies hat bisher leider nicht geklappt, vor allem, da ich wenn ich durch die neue 24 Stunden Pflege meine Arbeit bei der Bäckerei ab dem 1. November aufgeben werde/muss. Und die Leute fragen, was ist wenn meine Mutter dann mal sterben sollte, was ja eine berechtigte Frage ist. Aber es reicht leider nicht zu sagen, ich komme auch ohne Ihr Pflegegeld klar und finde schnelle eine neue Arbeit, das ist dennoch ein risiko für die Mieter, die meisten wollen das nicht. Ich war am Montag bei der gemeinde und habe da nachgefragt, ma sagte ich kann bei ihr einziehen und dort bleiben, bis meine Oma stirbt, danach müsste ich innerhalb von maximal 1 Monat ausziehen.
Das ist das schlechte für mich, da ich weder weiß ob ich in dem einen Monat eine Wohnung finden werde, das mit sehr viel stress (umzug etc.) verbunden wäre und dann hätte ich evtl. ja noch die 2 Katzen für mich... DIe Wohnung meiner Oma kostet sie 550 €warm. Meine jetzige kostet 440€ warm und der Durchschnitt anderer Wohnungen ist deutlich höher als die 550€ der Wohnung der Gemeinde.
Ich dachte mir ich frage mal hier nach, ob es doch noch eine Möglichkeit gibt, wie man das hinbekommen könnte, ich bin auch bereit eine hohe Kaution zu hinterlegen (5 MM).

Ich bedanke mich im vorraus für die Hilfe.