Susanne
Der neue Eigentümer übernimmt alle Rechte und Pflichten aus dem Mietvertrag. Damit kannst du von ihm auch die Kaution fordern, wenn das Mietverhältnis beendet ist, da Du ja nachweisen kannst, dass eine gezahlt wurde. Wenn er sich weigert, musst Du ggf. auf Auszahlung klagen.
Weiterhin darfst Du natürlich Deinen Hund behalten, insbesondere, wenn das sogar per Mietvertrag zugesichert ist. Mit dem Brandschutz und dem Sofa im Keller hat er aber recht, das solltest Du auch einsehen.
Trotzdem darf er Deinen Keller nicht aufbrechen, das ist Hausfriedensbruch. Bezüglich der Gastherme gelten die Vereinbarungen des Mietvertrags, ggf. gibt es dazu eine Kleinreparaturklausel? Ansonsten dem VM Mängel schriftlich melden und Frist setzen um Abhilfe zu schaffen.