Darf die Vermieterin in Ihre abgetrennten Räume wenn Sie durch unsere Wohnung muss ohne sich vorher anzumelden?

Guten Abend,

wir haben heute erfahren, dass unsere Vermieterin Silvester als wir im Urlaub waren unseren Wohnung ungefragt betreten hat um die Heizung in Ihren Räumen zu kontrollieren.

Es ist so, wenn man unsere Wohnung betritt gibt es neben unseren Flur zwei Räume, die wir nicht mitgemietet haben. Normalerweise ist die Tür zu diesen zwei Räumen abgeschlossen.
Im Sommer jedoch haben wir mündlich vereinbart, dass wir den zuerst liegenden Raum mitnutzen dürfen (ohne Mehrkosten) dies ca. bis März diesen Jahres.
Wir nutzen diesen Raum als Abstellkammer.

Nun rief die Vermieterin uns heute an, und teilte uns mit, wir sollen den Raum räumen, es wäre nur die Rede von einer Nutzung bis Januar gewesen. Es sähe da drin, ja so schlimm aus, dass sie fast einen Schock bekommen hätte (wir sammel dort z.b. unsere leeren Glasflaschen)(Ist ja auch ok, sie kann den Raum gerne wieder haben - ist ja ihrer)

Sie wäre Silvester in diesen Raum gewesen, um nachzusehen, ob wir dort die Heizung angestellt hätten.

Nun stellt sich die eigentliche Frage: Da die Vermieterin durch unseren Flur gehen muss, um diese besagten Räume zu betreten, darf Sie da einfach so unsere Wohnung öffnen um in Ihre Räume schauen zu können? Ohne unser Wissen oder einer vorherigen Absprache?
Selbst wenn wir den Raum nicht nutzen würden, muss sie sich da nicht rechtzeigtig anmelden, damit sie unsere Wohnung betreten kann?

Es ist nämlich so, dass unsere anderen Räume die zu unserer Wohnung gehören nicht extra verschlossen waren, ist ja logisch. Man rechnet ja auch nicht damit das die Vermieterin ungefragt einfach durch unsere Räume marschiert.

Aus diesem Grund habe ich gleich noch eine zweite Frage, nämlich ob wir berechtigt sind, in unserer Haustür ein neues Schloss einzubauen? Da die Vermieterin ja zugab, sie hat unsere Wohnung ohne unsere Zustimmung betreten, würde ich mich wohler fühlen, wenn wir ein neues Schloss in der Tür hätten.

Ich wäre sehr dankbar über eine Antwort und verbleibe mit lieben Grüssen

MeraLuna