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Aufgrund der Vielzahl Ihrer Fragen hier nur die wichtigsten Antworten:
Um eine Wohnung zu kündigen müssen Sie als Mieter die Kündigungsfristen einhalten und können daher nicht einfach "eher" raus. Wenn Sie eine Wohnung mieten so müssen Sie die Rechtslage akzeptieren.
Vollkommen unverständlich ist, warum Sie Ihre nicht schon Ende August räumen und um einen Termin zur Übergabe noch vor Ihrem Urlaub bitten.
Den Monat September müssen Sie natürlich noch bezahlen. Es macht aber keinen Sinn einen ganzen Monat lang vor dem allerletzten Auszugstermin in Urlaub zu fahren. Ist doch logisch dass Sie sich während dieser Zeit um nichts kümmern können.
Mängel, die bei Ihrem Einzug schon aufgetreten waren, hätten Sie auch während dieser Zeit anzeigen sollen. Im Nachhinein geht das nicht mehr.
Wenn Sie in Ihrer Wohnung die Fenster offen stehen lassen und so Tiere herein kommen, so ist das Ihr Problem. Der Vermieter hat damit nichts zu tun.
Die Sache mit Kaution und Bürgschaft ist so rechtens.
Betriebskostenabrechnung bekommen Sie dann wenn der Vermieter diese abrechnen kann. Das ist erst am Ende eines Wirtschaftsjahres möglich. Daher werden Sie diese höchstwahrscheinlich im nächsten Jahr bekommen.