Bschädigung der Mietsache

Moin, Moin aus Hamburg,

folgender Fall: Ich habe (das steht auch außer Frage), die Tür meines Abstellraumes auf dem Dachboden beschädigt. Ich habe eine Pressholz-Leiste herausgebrochen, weil ich den Schlüssel zum Raum nicht gefunden habe und dringend an die Sachen musste, die dort lagen.
Der Vermieter war telefonisch über den Schaden informiert. Ich habe ihm gesagt, dass ich die Leiste selbst reparieren werde, was ich selbstverständlich auch als meine Pflicht ansehe, schließlich habe ich den Schaden verursacht.
Nun flattert mir ca. 4 Wochen nach Entstehung des Schadens von meinem Vermieter eine Handwerkerrechnung in Höhe von rund 500 Euro für die Reparatur ins Haus. (Der Handwerksbetrieb hat natürlich gleich die ganze Tür ersetzt, aber das nur nebenbei.)
Meine Fragen:
1. Hätte der Vermieter mich nicht in Kenntnis setzen müssen, bevor er die Reparatur selbst vornehmen lässt?
2. Hätte er mir nicht eine Frist setzen müssen, den Schaden selbst zu beheben (Bei Meldung des Schadens wurde keine Frist gesetzt, sondern lediglich von mir gesagt, dass ich das selbstverständlich wieder in Ordnung bringe).
3. Darf der Vermieter überhaupt meinen Abstellraum (der zur Mietsache gehört) einfach betreten, ohne sich anzumelden?
4. Gibt es vielleicht einen ähnlichen Fall mit einem Urteil?

Vielen Dank schon jetzt,

Manuel alias Granatenelch